這一節(jié)課，小編要講講數(shù)學(xué)，大家認(rèn)真讀。數(shù)學(xué)，算是所有科目中比較難學(xué)的一個科目，估計很多同學(xué)對數(shù)學(xué)是深惡痛絕！

你發(fā)現(xiàn)沒有，對有些人卻不一樣（我們不一樣，不一樣！），他們一點都不覺得數(shù)學(xué)難學(xué)，反而覺得它很有趣。為了證明數(shù)學(xué)的有趣，小編給大家舉個例子：

那么繼續(xù)：

那接下來，有趣的事情發(fā)生了：

大家看到?jīng)]？相等了。不是1≈0.999999…嗎？怎么變成了相等？

關(guān)于1=0.999999……還是1≈0.999999……，這兩個之間，到底是怎么回事？……好吧，小編也不能給出解釋。

目前，對于這個問題，自然界有兩個相反的說法，一個是0.999999循環(huán)，在自然界中，是根本不存在的，宇宙中沒有任何一個實際物體，具有0.99...99這個數(shù)值……

另外一個猜測是：1的無窮次方等于1；而0.9999.....的無窮次方等于0，所以兩者不相等……

很顯然，這兩個都是符合我們?nèi)缃竦臄?shù)學(xué)認(rèn)知，而且還相互矛盾的！這就更加讓人難以明白，到底是等于，還是約等于，還是差距非常大！

這算是數(shù)學(xué)的一個悖論！但是！現(xiàn)在不明白，不等于以后不明白！數(shù)學(xué)，是一個發(fā)展的學(xué)科！

小編在這里，跟大家分享一下，數(shù)學(xué)的三次危機，都是因為數(shù)學(xué)發(fā)展過程中不夠完善，差點斷送了數(shù)學(xué)這個學(xué)科。

在公元前五世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)學(xué)科畢達(dá)哥拉斯學(xué)派主張【“數(shù)”是萬物的本原、始基】，而宇宙中一切現(xiàn)象都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，有理數(shù)理論成為占統(tǒng)治地位的數(shù)學(xué)規(guī)范……

畢達(dá)哥拉斯

小編這里先復(fù)習(xí)一下【有理數(shù)】的概念，它是整數(shù)（正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱。這個有理數(shù)，是那個時候的數(shù)學(xué)的理論基石，不可動搖。

結(jié)果，在公元前580～568年間，一個畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部的一個成員希帕索斯，有一天突然發(fā)現(xiàn)：邊長為1的正方形的對角線長度（根號2）既不是整數(shù)，也不能用整數(shù)之比來表示。

這一發(fā)現(xiàn)不僅嚴(yán)重觸犯了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，同時也沖擊了當(dāng)時希臘人的普遍見解，因此它直接導(dǎo)致了數(shù)學(xué)認(rèn)識上的“危機”，動搖到了數(shù)學(xué)的根基。

這一悖論導(dǎo)致了Hipasus被畢達(dá)哥拉斯學(xué)派追殺，最終葬身大海的悲劇。

希帕索斯的這一發(fā)現(xiàn)，史稱“希帕索斯悖論”，從而觸發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機。

也正是因為這次數(shù)學(xué)悖論的出現(xiàn)，證明了人的直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，而推理和證明才是可靠的，這就導(dǎo)致了亞里士多德的邏輯體系和歐幾里德幾何體系的建立……

過了兩百年，希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯和阿契塔斯兩人給出了“兩個數(shù)的比相等”的新定義，建立起一套完整的比例論，其中巧妙避開了無理數(shù)這一“邏輯上的丑聞”，并保留住與之相關(guān)的一些結(jié)論，緩解了這次數(shù)學(xué)危機。

然而，“世界萬物皆為整數(shù)或整數(shù)比”的錯誤并沒有解決，歐多克斯只是借助幾何方法，直接避免無理數(shù)的出現(xiàn)。

直到1872年，德國數(shù)學(xué)家對無理數(shù)作出了嚴(yán)格的定義，無理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，無理數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立，才真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學(xué)危機。

好了，這個第一次數(shù)學(xué)危機就講到這里，回到1=0.999999……還是1≈0.999999……這個問題上來，就像這個根號2的出現(xiàn)動搖了當(dāng)時的數(shù)學(xué)體系的情況一樣，不相信根號2的存在……

而現(xiàn)在，有人不相信0.9999……無限循環(huán)不存在，不用擔(dān)心，當(dāng)未來數(shù)學(xué)發(fā)展到一定的程度時，它就存在了，也許到時候，會出現(xiàn)一個新的數(shù)學(xué)概念，1=0.999999……還是1≈0.999999這個問題，就像是當(dāng)初的【無理數(shù)】概念一樣……

17世紀(jì)末，牛頓和萊布尼茨分別獨立地建立了微積分方法，成為解決眾多問題的重要而有力的工具，并在實際應(yīng)用中獲得了巨大成功。

微積分是初等和高等數(shù)學(xué)的分水嶺。萊布尼茨說：從人類有數(shù)學(xué)開始到牛頓時代，牛頓的貢獻至少一半以上！盡管如此，從本質(zhì)上說，還是科學(xué)技術(shù)的發(fā)展催生了微積分 。

17世紀(jì)，科學(xué)技術(shù)發(fā)展迅猛，向數(shù)學(xué)提出四類問題：瞬時速度問題；曲線的切線問題；函數(shù)極值問題；曲線長度和圖形面積問題。以上四類問題吸引了大批數(shù)學(xué)家，產(chǎn)生了新的數(shù)學(xué)工具：坐標(biāo)解析幾何。

微積分的建立標(biāo)志著數(shù)學(xué)從常數(shù)數(shù)學(xué)時代進入變數(shù)數(shù)學(xué)時代，推動了整個科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。

然而，微積分學(xué)產(chǎn)生伊始，迎來的并非全是掌聲，在當(dāng)時它還遭到了許多人的強烈攻擊和指責(zé)，原因在于當(dāng)時的微積分主要建立在無窮小分析之上，而無窮小后來證明是包含邏輯矛盾的。

1734年愛爾蘭主教貝克萊提出貝克萊悖論：無窮小量 dx 既是0又不是0！

無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？這引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達(dá)一個半世紀(jì)的爭論。

如果解不到這個問題，所謂無堅不摧的微積分，便無立足之地，一切由微積分所得出來的完美的數(shù)學(xué)和物理學(xué)上的結(jié)果也付諸流水，所以數(shù)學(xué)史上稱之為“第二次數(shù)學(xué)危機”。

 數(shù)學(xué)是講究嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，數(shù)學(xué)家必不逃避問題，面對困難，接受挑戰(zhàn)，是數(shù)學(xué)家的不朽格言。

化解這一悖論的重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)是極限論，它使得微積分得以嚴(yán)密化。

1820年，另一位偉大的數(shù)學(xué)家柯西（1789–1857），重新建立微積分學(xué)的基礎(chǔ)——數(shù)學(xué)分析。

數(shù)學(xué)分析是透過一套嚴(yán)格的“數(shù)學(xué)語言——ε–語言”來說明甚么是變量、無窮小和極限等的概念和定義，解決了甚么是既不是零又不是非零的問題，而這次的危機亦安然渡過，并為數(shù)學(xué)的大家庭增添了一位成員“數(shù)學(xué)分析”。

魏爾斯托拉斯進一步改進柯西的工作，給出極限的 e--d 語言定義：

經(jīng)過數(shù)位杰出數(shù)學(xué)家對于微積分學(xué)基礎(chǔ)概念的重建后，第三次數(shù)學(xué)危機才終于得以解決。

19世紀(jì)后期，高等數(shù)學(xué)（微積分），線性代數(shù)（多項式，矩陣，行列式），幾何學(xué)（射影幾何）已經(jīng)發(fā)展得十分完備； 

一些新的數(shù)學(xué)分支，如泛函分析，抽象代數(shù)，拓?fù)鋵W(xué)，等等，開始出現(xiàn)；

康托建立了集合論-----現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

1900年龐加萊稱：數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性，看來直到今天才可以說是實現(xiàn)了。正在此時，羅素定義的集合R：所有不以自己為元素的集合所組成的集合R = { x | x ? x } 。

這個漏洞就源于英國數(shù)學(xué)家羅素提出的一個悖論：所有不包含自身的集合的集合，它到底包不包含自身呢？如果它包含自身，那么它就不是不包含自身的集合，所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素。

伯特蘭·羅素(Bertrand Russell，1872.5.18-1970.2.2)

如果它不包含自身，那它理應(yīng)是所有不包含自身的集合的集合的一個元素。這樣的一個集合，包不包含自身，都必將引發(fā)矛盾。

對于羅素悖論，有一個通俗的故事可以解釋，就是“理發(fā)師悖論”。

羅素悖論一經(jīng)提出便在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界與邏輯學(xué)界內(nèi)引起了軒然大波，直接導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機！

弗雷格（Friedrich Ludwig Gottlob Frege，1848.11.8-1925.7.26)

由于這個悖論，費雷格的著作《算術(shù)原理》中的第五公理竟然是錯的！他感覺算術(shù)的基礎(chǔ)發(fā)生了動搖。

最后只能在自己著作的末尾寫道：“一個科學(xué)家所碰到的最倒霉的事，莫過于是在他的工作即將完成時卻發(fā)現(xiàn)所干的工作的基礎(chǔ)崩潰了?！?/span>

那么，這次危機是如何得到解決的呢？

事實上，為了解決羅素悖論，演化出邏輯主義，直覺主義，形式主義等數(shù)學(xué)學(xué)派，產(chǎn)生了集合論的公理化。人們注意到，必須對康托的樸素集合論加以限制，限制到足以排除悖論，同時保留所有有價值的東西。 

龐加萊說，我們建造了一個圍欄來放養(yǎng)羊群，以防止它們被狼侵害，但我們不知道在圍欄中是否已經(jīng)有狼。

直到1931年，哥德爾提出了一系列不完備定理并予以證明：

至此，這場關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的爭論終于結(jié)束，同時也宣告了把數(shù)學(xué)徹底形式化的愿望是不可能實現(xiàn)的。

數(shù)學(xué)是講究嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，數(shù)學(xué)家必不逃避問題，面對困難，接受挑戰(zhàn)，是數(shù)學(xué)家的不朽格言。

歷史上的三次數(shù)學(xué)危機，雖然給人們帶來了極大的麻煩，但是危機的產(chǎn)生使人們認(rèn)識到了現(xiàn)有理論的缺陷，并不斷去完善，由此，數(shù)學(xué)也會得到新的發(fā)展，甚至?xí)懈锩缘牡淖兏铮?/span>

事實上，悖論的產(chǎn)生往往預(yù)示著科學(xué)的發(fā)展，可以說，悖論是科學(xué)發(fā)展的產(chǎn)物，是科學(xué)發(fā)展源泉之一。

第一次數(shù)學(xué)危機使人們發(fā)現(xiàn)無理數(shù)，建立了完整的實數(shù)理論，歐氏幾何也應(yīng)運而生并建立了幾何公理體系；

第二次數(shù)學(xué)危機的出現(xiàn)，直接導(dǎo)致了極限理論、實數(shù)理論和集合論三大理論的產(chǎn)生和完善，使微積分建立在穩(wěn)固且完美的基礎(chǔ)之上；

第三次數(shù)學(xué)危機,使集合論成為一個完整的集合論公理體系（ZFC系統(tǒng)）,促進了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究及數(shù)理邏輯的現(xiàn)代性。